Physikalische Geodäsie
Die Physikalische Geodäsie stellt einen Sammelbegriff für bedeutende Aufgaben der Geodäsie dar, bei denen der Einfluss der im irdischen Raum wirkenden physikalischen Kräfte, wie Gravitation, Fliehkraft, Gezeitenkräfte, tektonische Kräfte, auf die mit geodätischen Mitteln messbaren Objekte und erkennbaren Phänomene, z.B. Erdfigur, Erdschwerefeld und dessen zeitliche Veränderungen, Ozeanoberflächen, Erdrotation und Polbewegung, Höhen und Höhensysteme, Erdgezeiten, Plattentektonik, untersucht und interpretiert werden. Das mathematische Problem, das Schwerepotential im Außenraum der Erdoberfläche aus messbaren, auf der Erdoberfläche in kontinuierlicher Form gegebenen Randwerten zu bestimmen wird als das geodätische Randwertproblem (GRWP) bezeichnet. Neben dem unbekannten Schwerepotential können in den verschiedenen Formulierungen des GRWP weitere unbekannte Funktionen auftreten, die ebenfalls aus den Randwerten zu bestimmen sind. Beim fixen geodätischen Randwertproblem wird der Ortsvektor der Randfläche als vollständig bekannt vorausgesetzt; im Gegensatz dazu ist dieser beim freien geodätischen Randwertproblem entweder völlig unbekannt oder nur bezüglich der horizontalen Koordinaten festgelegt. Weitere Unterschiede bestehen hinsichtlich der Annahmen über die vorgegebenen Randwerte: Das gravimetrische Randwertproblem beruht auf der Vorgabe von Schwerewerten auf der Erdoberfläche, aus denen das Schwerepotential auf und im Außenraum der Erdoberfläche bestimmt wird. Im altimetrisch - gravimetrischen Randwertproblem, das zur Klasse der gemischten Randwertaufgaben gehört, sind Schwerewerte im kontinentalen Bereich der Erdoberfläche gegeben, während im ozeanischen Bereich mit den Methoden der Satellitenaltimetrie bestimmte Geoidhöhen als bekannt vorausgesetzt werden. Ferner unterscheiden sich die Formulierungen des GRWP bezüglich der Wahl der Randfläche: im Molodensky-Problem dient die topographische Erdoberfläche, im Stokes-Problem das Geoid als Randfläche. Eng mit den Lösungen des geodätischen Randwertproblems verknüpft sind die physikalisch definierten Höhensysteme: die Normalhöhen müssen als Elemente des Molodensky-Problems gesehen werden, während die orthometrischen Höhen im Zusammenhang mit dem Stokes’schen Problem gesehen werden müssen. Die von G.G. Stokes 1849 formulierte Aufgabe, die Gestalt des Geoids und des Schwerepotentials W im Außenraum des Geoides aus terrestrischen geodätischen Messungen zu bestimmen bezeichnet man als das Stokes’sche Randwertproblem. Diese Aufgabe kann in Form eines dritten Randwertproblems der Potentialtheorie formuliert werden. Um das ursprünglich nichtlineare Problem zu linearisieren, werden Näherungen für die Randfläche und das Schwerepotential eingeführt. Als Approximation für W benutzt man ein Normalschwerepotential, i. allg. das Potential U eines Niveauellipsoids, so dass W aus U und dem noch unbekannten Störpotential T zusammengesetzt ist, W=U+T. Da die Zentrifugalanteile in U und W identisch sind, ist das Störpotential im Außenraum des Geoids harmonisch und im Unendlichen regulär. Als Näherung für die räumliche Lage des Geoidpunktes P wird der Durchstoßpunkt Q auf der Ellipsoidoberfläche verwendet, welcher auf derselben Ellipsoidnormale wie P liegt, so dass das Referenzellipsoid als Näherung für die Geoidfläche dient. Nach Linearisierung bezüglich des Näherungspotentials U und der Näherungspunkte Q sowie weiteren Vereinfachungen ergeben sich aus den Randbedingungen das Theorem von Bruns sowie die Fundamentalformel der Physikalischen Geodäsie. Unter Vernachlässigung der Elliptizität der Erde (Fehler von der Ordnung 0.3%) entsteht als Lösungsformel für die Geoidhöhe in einem Punkt P des Geoides die Stokessche Integralformel, wobei im Integranden das Produkt aus der Stokes'schen Funktion und den Schwereanomalien stehen, und das Integral im Prinzip über die ganze Erde zu erstrecken ist. Eine entsprechende Formel kann auch für das Störpotential T angegeben werden. Die Berechnung der Geoidhöhe N aus der Stokesschen Integralformel bezeichnet man auch als gravimetrische Geoidbestimmung. Um die für das Stokes-Problem erforderlichen Voraussetzungen zu schaffen, sind alle Massen außerhalb des Geoids rechnerisch zu beseitigen und der dadurch entstandene Fehler nach Lösung des Stokes’schen Problems als indirekter Effekt wieder anzubringen. Da die Dichte der topographischen Massen i.allg. nicht ausreichend genau bekannt ist, ist eine hochgenaue Geoidbestimmung wegen fehlerbehafteter Dichteannahmen nicht möglich. Aus diesem Grunde wird das Geoid in der modernen Geodäsie gewöhnlich durch das Quasigeoid ersetzt, das sich als Element der Lösung des Molodensky-Problems ergibt. Unter dem Molodensky-Problem versteht man ein freies geodätisches Randwertproblem mit dem Ziel, die Geometrie der Erdoberfläche und das äußere Schwerefeld der Erde aus geodätischen Beobachtungen auf der Erdoberfläche zu bestimmen. Das Problem wurde in dieser Form von M.S. Molodensky in den Jahren 1940-1950 erstmals formuliert. Die für die Praxis der Erdmessung wichtigste von verschiedenen Varianten ist die Formulierung auf der Grundlage des skalaren freien geodätischen Randwertproblems: Auf der Erdoberfläche S, die alle Massen des Erdkörpers einschließt, sind Schwerewerte g(B,L) und geopotentielle Koten C(B,L) als kontinuierliche Funktionen der geographischen Koordinaten B,L gegeben. Die geographischen Breiten B und Längen L beziehen sich auf ein dem Erdkörper mittels einer geodätischen Datumsfestlegung angeheftetes Referenzellipsoid E, dessen kleine (polare) Halbachse in Richtung der Erdrotationsachse zeigt. Der Erdkörper rotiere mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit um die raum- und körperfeste Rotationsachse. Die messbaren Schwerewerte gP und geopotentiellen Koten CP in beliebigen Punkten P der Randfläche S dienen als Randwerte, die mit dem Schwerepotential W durch Randbedingungen funktional verknüpft sind. Ziel des Molodensky-Problems ist die Bestimmung der auf die Ellipsoidnormale durch P bezogenen ellipsoidischen Höhe hP sowie des Schwerepotentials im Außenraum der Erde, welches die (um den Zentrifugalterm) erweiterte Laplacesche Differentialgleichung erfüllt. Um die geforderte Ausgangssituation herzustellen, sind an den messtechnisch bestimmten Schwerewerten und geopotentiellen Koten zunächst Gezeiten- und atmosphärische Reduktionen anzubringen, um rechnerisch die Wirkungen der im Außenraum der Erde tatsächlich existierenden Massen von Sonne und Mond sowie der Atmosphäre zu beseitigen. Auch geodynamische Effekte sind ggf. durch Reduktionen der Randwerte zu berücksichtigen. Da die ellipsoidische Höhe der Randpunkte P unbekannt ist, gehört das Molodensky-Problem zur Klasse der freien Randwertprobleme. Die durch die Randbedingungen hergestellten Beziehungen zwischen den Unbekannten und den beobachtbaren Größen (Observablen) sind nichtlinear und können durch Einführung von Näherungen für die unbekannte Potentialfunktion W(x) und die unbekannte ellipsoidische Höhe h(B,L) linearisiert werden. Als Approximation für das Potential W benutzt man ein Normalschwerepotential, i. allg. das Potential U eines Niveauellipsoids, so dass W aus dem bekannten Normalpotential U und dem noch unbekannten Störpotential T zusammengesetzt ist, W=U+T. Da die Zentrifugalanteile in W und U identisch sind, ist das Störpotential im Außenraum der Erdoberfläche S harmonisch und im Unendlichen regulär. Eine Approximation der Randfläche S wird mit Hilfe einer Telluroidabbildung konstruiert: Zu jedem Oberflächenpunkt P wird ein Telluroidpunkt Q bestimmt, der auf derselben Ellipsoidnormale liegt (BQ=BP, LQ=LP) und für den weiter gilt: U0-UQ=CP. (U0 Normalpotential auf dem Referenzellipsoid E); aus dieser Bedingung folgt die ellipsoidische Höhe hQ des Punktes Q, die mit der Normalhöhe des Punktes P zahlenmäßig identisch ist. Die Menge aller den Punkten P zugeordneten Bildpunkte Q erzeugt das Telluroid S' als Näherung der Erdoberfläche. Damit lässt sich die ellipsoidische Höhe hP in die bekannte Normalhöhe HP und ein unbekanntes Reststück, die Höhenanomalie zP, zerlegen. Nach Linearisierung und weiteren Vereinfachungen (sphärische Approximation) ergeben sich aus den Randbedingungen das Theorem von Bruns sowie die Fundamentalformel der Physikalischen Geodäsie, welche in diesem Zusammenhang auch als Freiluftanomalie bezeichnet wird. Die Fundamentalformel der Physikalischen Geodäsie ist als Randbedingung zu der außerhalb des Telluroids gültigen Feldgleichung aufzufassen; dieses Randwertproblem gehört zur Klasse der schiefachsigen Randwertprobleme der Potentialtheorie. Eine analytische Lösung dieses Geodätischen Randwertproblems ergibt sich in Form einer Reihenentwicklung, deren Hauptterme durch die S tokessche Integralformel gegeben werden. Das gravimetrische Zusatzglied beschreibt den Einfluss der unregelmäßigen Geländegestalt und ist im wesentlichen der Geländereduktion äquivalent. Eine entsprechende Formel kann auch für das Störpotential T angegeben werden. Verfeinerungen der hier skizzierten Theorie von Molodensky betreffen die Berücksichtigung von nichtlinearen Termen der Reihenentwicklungen sowie die Einbeziehung der Elliptizität der Erde. Während in der klassischen Geodäsie das Molodensky-Problem im Zusammenhang mit der Bestimmung von ellipsoidischen Höhen für Punkte der Erdoberfläche gesehen wurde, liegt nunmehr, nachdem die ellipsoidischen Höhen über Satellitenmethoden ermittelt werden können, der Schwerpunkt auf der Ermittlung von Normalhöhen mittels der umgestellten Formel HP=hP-zP. Wenn zP nach der Theorie von Molodensky aus gravimetrischen Messungen bestimmt wird, sind hierfür keine zeitaufwendigen Nivellements mehr notwendig.